Líquidos. Mecánica de los Fluidos. Ley de STOKES.

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La mecánica de Fluidos estudia las leyes del movimiento de los fluidos y sus procesos de interacción con los cuerpos sólidos. Es una mezcla de teoría y experimento que proviene por un lado de los trabajos iniciales de los ingenieros hidráulicos, de carácter fundamentalmente empírico, y por el otro del trabajo básicamente matemáticos, que abordaban el problema desde un enfoque analítico.

La característica fundamental de los fluidos es la denominada fluidez. Un fluido cambia de forma de manera continua cuando esa sometido a un esfuerzo cortante, por muy pequeño que sea éste, es decir, un fluido no es capaz de soportar un esfuerzo cortante sin moverse durante ningún intervalo de tiempo. Unos líquidos se moverán más lentamente que otros, preo ante un esfuerzo cortante se moverán siempre. La medida de la facilidad con que se mueve vendrá dada por la viscosidad que se trata más adelante, relacionada con la acción de fuerzas de rozamiento. Por el contrario en un sólido se produce un cambio fijo y para cada valor de a fuerza cortante aplicada. En realidad algunos sólidos pueden presentar un cierto modo ambos comportamientos, cuando la tensión aplicada está por debajo de un cierto umbral presenta el comportamiento habitual, mientras que por encima de un cierta umbral el sólido puede plastificar, produciéndose una deformación más continua para una fuerza fija, de forma parecida a como ocurre en un fluido. Esto precisamente lo que ocurre en la zona de influencia. Si la fuerza persiste, se llega a la rotura del sólida.

Dentro de los fluidos, la principal diferencia entre líquidos y gases estriba en as distintas comprensibilidades de los mismo.

Gases: Los gases presentan  una gran comprensibilidad, que influye sobre las características del flujo, ya que tanto el volumen como la densidad varían con facilidad. En el caso de los gases el movimiento térmico vence a las fuerzas atractivas y, por tanto tienden a ocupar todo el volumen del recipiente que los contiene.

Líquidos.- En el caso de los líquidos, por el contrario, la comprensibilidad es muy débil. Esto es debido a que las fuerzas atractivas entre las moléculas del líquido vencen al movimiento térmico de las mismas, colapsando las moléculas y formando el líquido. Al contrario que en el caso de los gases que tendían a ocupar todo el volumen que los contienen, los líquidos tienden a formar una superficie libre.

Ley de Stokes

Se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. 

Flujo estacionario de Stokes

En flujos de Stokes con un número de Reynolds muy bajo, la aceleración convectiva se puede considerar nula en los términos de la ecuación de Navier-Stokes. En ese caso las ecuaciones del flujo se igualan a las de un flujo incompresible y estacionario:³

donde:

·         p es la presión del fluido (en Pa),

·         u es la velocidad del flujo (en m/s), y

·         ω es la vorticidad (en s^-1), definida como  

Usando algunas propiedades del cálculo de vectores, estas ecuaciones se pueden mostrar como resultado de una ecuación de Laplace para la presión y cada uno de los componentes del vector vorticidad:³

Fuerzas adicionales como la gravedad o la flotabilidad no han sido tomados en cuenta, pero pueden ser fácilmente añadidos a la ecuación ya que son lineales, así que se puede aplicar la superposición lineal a las soluciones.

Flujo alrededor de una esfera

Para el caso de una esfera en un campo de velocidades, es ventajoso usar el sistema de coordenadas cilíndrico ( r , φ , z ). El eje z pasa por el centro de la esfera y está alineado con la dirección del flujo, mientras que r es el radio medido perpendicular al eje z. El origen es el centro es de la esfera. Debido a que el flujo es asimétrico respecto al eje z, éste es independiente del azimut φ.

En el sistema de coordenadas cilíndrico, el flujo incompresible puede ser descrito por la función del flujo de Stokes ψ, la cual está en función de r y z:^4 5

con v y w como componentes del flujo de velocidad en la dirección r y z, respectivamente. La componente de la velocidad acimutal en la dirección φ es cero, en el caso simétrico. El flujo de volumen, a través de un tubo limitada por una superficie de valor constante ψ, es igual a 2π ψ y es constante.⁴

Para el caso de un flujo simétrico por los ejes, el único componente no nulo del vector vorticidad ω es el azimutal φ, el componente ω_φ.^6 7

El operador de Laplace, aplicado a la vorticidad ω_φ, aplicado en el sistema cilíndrico con simetría en los ejes:⁷

De las dos ecuaciones anteriores, y con las apropiadas condiciones de contornos, para un campo de velocidad uniforme y paralela V en la dirección z y en una esfera de radio R, la solución resulta ser⁸

La fuerza viscosa por unidad de área σ, ejercida por el flujo en la superficie de la esfera, está en la dirección z sobre toda la esfera. Más exactamente, tiene el mismo valor en cualquier punto de la esfera:

con e_z el vector unitario en la dirección z–direction. Para otras formas que no sean la esférica, σ no es constante a lo largo de la superficie del cuerpo. Integrando la fuerza viscosa por unidad de área σ sobre la esfera resulta la fuerza de fricción F_d de acuerdo con la ley de Stokes.